分块矩阵

2022-06-14

分块矩阵

线性方程组的分类

方程组 $Ax = b$ 有解 $\Longleftrightarrow$ $b$ 是 $A$ 列向量的线性组合 $\Longleftrightarrow$ $r(A) = r(A,b)$
齐次线性方程组 $Ax = 0$ 有非零解 $\Longleftrightarrow$ $A$ 的列向量线性相关
$Ax = 0$ 有唯一零解 $\Longleftrightarrow$ $A$ 的列向量线性无关

满秩分解

老师讲到系数矩阵 $A$ 的列向量线性相关的时候顺便就把满秩分解给讲了, 其实也很自然。
例如对于矩阵 $A$

$A = \left ( \begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right ) = (\gamma_1, \gamma_2, \cdots, \gamma_7)$

列向量 $\gamma_i$ 之间存在线性相关,

$\left \{ \begin{align*} \gamma_2 &= 2 \gamma_1 \\ \gamma_4 &= 2 \gamma_1 - \gamma_3 \\ \gamma_6 &= 2 \gamma_1 + 3 \gamma_3 + \gamma_5 \\ \gamma_7 &= 3 \gamma_1 - \gamma_3 + 2 \gamma_5 \\ \end{align*} \right.$

因此

$A = \left (\begin{array}{} \gamma_1 & \gamma_3 & \gamma_5 \end{array} \right) \left ( \begin{array}{} 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2\\ \end{array} \right)$

满秩分解定义: 若 $A \ne 0, A=LR, L$ 列满秩, $R$ 行满秩, 称 $LR$ 是 $A$ 的满秩分解。

显然矩阵的满秩分解不唯一, 例如 $A = (LP) (P^{-1}R)$。

矩阵的迹

$tr(AB) = tr(BA)$
$tr(AA^*) = \sum{i,j=1}^n |a{ij}|^2$
验算一下即可

矩阵的秩

性质

满秩 $\Longleftrightarrow$ 非奇异 $\Longleftrightarrow$ 可逆
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}A$, $\text{adj}A$ 为伴随矩阵
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$
若 $\lambda \neq 0$, 则 $(\lambda A)^{-1} = \lambda^{-1} A^{-1}$
$|A^{-1}| = |A|^{-1}$

命题1 可逆矩阵与任何矩阵积的秩等于该矩阵的秩:\
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $P$ 是 $m$ 阶可逆方阵, $Q$ 是 $n$ 阶可逆方阵, 则 $r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)$

说明: $P$ 是可逆矩阵, 可以分解成初等矩阵与单位矩阵的积 $P = T_1 \cdots T_p I$。
$PA$ 相当于对 $A$ 进行初等变换, 这不会改变 $A$ 的秩。

命题2 $max{r(A), r(B)} \le r(A+B) < r(A) + r(B)$

说明: 内在的逻辑很直观

Proof:\
将 $A, B$ 写为 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n), B = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n)$, 则 $A+B = (\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, \cdots, \alpha_n+\beta_n)$。\
设 $A, B$ 的线性无关向量组为 ${\alpha_1, \cdots, \alpha_s}$ 和 ${\beta_1, \cdots, \beta_t}$, 那么 $A+B$ 的线性无关向量组一定包含于 ${\alpha_1, \cdots, \alpha_s, \beta_1, \cdots, \beta_t}$。\
因此 $r(A+B) \le s+t \le r(A)+r(B)$

命题3 (Sylvester 不等式) 设 $A, B$ 分别是 $m \times p, p \times n$ 矩阵, 则

$r(A) +r(B) - n \le r(AB) \le min\{r(A), r(B)\}$

Proof:\
右边的等号相对简单, 延续命题2的思路, 将 $AB$ 表示为列向量的线性组合。
记 $A{t\times n} = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n), B{n \times s} = (\beta1, \cdots, \beta_s)$, 则 $AB = (b{11}\alpha1 + b{21}\alpha2 + \cdots + b{n1}\alpha_n, \cdots)$。
可以看出 $AB$ 的每个列向量为 $A$ 的列向量的线性组合, 所以 $r(AB) \le r(A)$。类似的, 可以得出 $r(AB) \le r(B)$, 因此 $r(AB) \le min{r(A), r(B)}$。

左边的需要利用分块矩阵进行证明, 我们先证明一个更一般性的结论 $r(ABC)+r(B) \ge r(AB)+r(BC)$ 那么之后就取 $B=I$ 即可证明 $r(A)+r(B)-n \le r(AB)$。

考虑分块矩阵的秩 $r\left (\begin{array}{cc} AB & 0 \ B & BC \\end{array} \right)$, 则 $r\left (\begin{array}{cc} AB & 0 \ B & BC \\end{array} \right) \ge r(AB)+r(BC)$。
而

$\begin{align*} r\left (\begin{array}{cc} AB & 0 \\ B & BC \\\end{array} \right) &= r \left (\begin{array}{cc} 0 & -ABC \\ B & BC \\\end{array} \right) \\ &= \left (\begin{array}{cc} 0 & ABC \\ B & 0 \\\end{array} \right) \\ &= r(B) + r(ABC) \end{align*}$

证毕。

注: 式 $r\left (\begin{array}{cc} AB & 0 \ B & BC \\end{array} \right) \ge r(AB)+r(BC)$ 可能让人困惑, 但是可以观察例子

$\left ( \begin{array}{cc|ccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right )$

其中 $r\left (\begin{array}{cc} AB & 0 \ B & BC \\end{array} \right) = 3$ 而 $r(AB)+r(BC) = 2$。本质是左下角的分块 $B$ 可能会增加 $r\left (\begin{array}{cc} AB & 0 \ B & BC \\end{array} \right)$。

分块矩阵

分块矩阵在证明和计算中的用处很大, 如下:

例题分块矩阵的行列式 $\left|\begin{array}{cc} A & B \ C & D \\end{array} \right| = AD - BC$ 是否成立? 如果 $A^{-1}$ 存在, 求 $\left|\begin{array}{cc} A & B \ C & D \\end{array} \right|$ 的值。

Answer:\
首先容易分析出第一问不成立, 因为分块矩阵不一定是均匀的, 例如:

$A = \left ( \begin{array}{c|ccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \hline \alpha_{21} & \alpha_{22} & ~ & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \cdots & \alpha_{nn} \\ \end{array} \right )$

维度不同, $\left|\begin{array}{cc} A & B \ C & D \\end{array} \right| = AD - BC$ 自然不成立。

第二问我们回归一般的行列式求法, 将矩阵化为 $\left|\begin{array}{cc} X & 0 \ 0 & Y \\end{array} \right| = |X||Y|$ 可进行求解。从而利用分块矩阵初等变换:

$\begin{align*} \left|\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \\\end{array} \right| &= \left|\begin{array}{cc} A & 0 \\ C & D - CA^{-1}B \\\end{array} \right| \\ &= \left|\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & D - CA^{-1}B \\\end{array} \right| \\ &= |A||D-CA^{-1}B| \end{align*}$

总结

分块矩阵是一种记号, 可以简化运算, 帮助从更抽象的角度认识矩阵的性质