线性特征方程与线性空间

2022-09-21

线性空间

工程师通常注重矩阵的运算, 但是数学家往往更喜爱线性空间. 线性变换与矩阵是一一对应的, 并且有时候会具有比矩阵更美妙的特性.

线性空间的定义由两部分组成: 加群和数乘.

对于 n 维空间 $\mathbb{F}^n$, “+” 运算可能有如下性质

(C) 封闭性: $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}^n, \alpha + \beta \in F^n$;
(A1) 结合律: $\forall \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}^n, (\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$;
(A2) 交换律: $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{F}^n, \alpha + \beta = \beta + \alpha$;
(A3) 存在零向量: 存在元素 $0$, 对 $\forall \alpha \in \mathbb{F}^n, \alpha + 0 = \alpha$;
(A4) 存在负向量: $\forall \alpha \in \mathbb{F}^n$, 存在一个向量, 记为 $-\alpha$, 使得 $\alpha + (-\alpha) = 0$.

带有满足 [C, A1, A3, A4] 条件的加法 “+” 的集合 $V$ 被称为群.

满足 [C, A1, A2, A3, A4] 条件加法 “+” 的集合称为加群/交换群.

线性空间还需要定义数乘, 即 $\mathbb{F}$ 中的数字 $a$ 与 $\mathbb{F}^n$ 中的向量 $\alpha$ 可以做乘法. 来自两个不同集合的元素进行运算需要满足一些性质才能和谐

(B1) 数乘的结合律: $\forall a, b \in \mathbb{F}, \alpha \in \mathbb{F}^n$, 有 $a(b \alpha) = (ab) \alpha$;
(B2) 数乘关于向量加法的分配律: $\forall a \in \mathbb{F}, \alpha, \beta \in \mathbb{F}^n$, 有 $a(\alpha + \beta) = a\alpha + a\beta$;
(B3) 数乘关于数的加法分配律: $\forall a, b \in \mathbb{F}, \alpha \in \mathbb{F}^n$, 有 $(a+b) \alpha = a\alpha + b\alpha$;
(B4) 数乘的初始条件: 对 $1 \in \mathbb{F}$, 有 $1 \cdot \alpha = \alpha$

[B1-B3] 定义了 $\mathbb{F}$ 中加法与 $V$ 中加法运算的互动规则;
[B4] 给了数乘一个自然的初始规则

零向量唯一

Proof:\
设存在两个零向量 $O_1, O_2 \in \mathbb{F}$, 则
$\begin{align*} O_1 &= O1 + O_2 \\ &= O_2 + O_1 \\ &= O_2 \end{align*}$
即只存在一个零向量.
注意体会证明过程, 没有用到线性空间定义之外的条件.
负向量唯一

Proof:\
设存对于 $\alpha \in \mathbb{F}^n$, 存在两个负向量 $\beta_1, \beta_2 \in \mathbb{F}^n$. 则
$\left\{ \begin{align*} \alpha + {\beta}_1 &= 0 \\ \alpha + {\beta}_2 &= 0 \end{align*} \right. \hspace{0.1cm} \Longrightarrow$
若 $a\cdot \alpha = 0$, 则 $a = 0$ 或 $\alpha = 0$\
Proof:

交并和

判断法则

[B4] 的意义是什么, 如果 $1\cdot \alpha = 2\alpha$ 会怎么样
是否存在 $U, V \subseteq \mathbb{F}^n$ 且不是 trivial subset, U V 的直和不等于 $\mathbb{F}^n$
线性空间的判定条件没有数乘封闭性验证, 比如 $a\alpha \in \mathbb{F}^n$ 为什么不验证