特征值

2022-11-15

不变子空间

对于线性变换 $T \in L(V), U$ 是 $V$ 的子空间.

若 $\forall \alpha \in U, T(\alpha) \in U$, 则 $U$ 是 $T$ 的不变子空间.

为什么要引入不变子空间的概念呢, 我们可以考察一个具体的例子.
对于一个线性空间 $V, \dim V = 6$.

设 $V = U_1 \oplus U_2 \oplus U_3$, 并且 $U_1, U_2, U_3$ 中的基分别为 ${\alpha_1, \alpha_2}, {\alpha_3, \alpha_4}, {\alpha_5, \alpha_6}$.

如果 $U_1, U_2, U_3$ 是不变子空间.
则

$T(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_6) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_6) \begin{pmatrix} X & X & & & & \\ X & X & & & & \\ & & X & X & & \\ & & X & X & & \\ & & & & X & X \\ & & & & X & X \end{pmatrix}$

即 $T$ 对应的矩阵为分块对角阵.
进一步, 如果 $V$ 可以写为很多一维不变子空间的直和, 那么 $T$ 对应的矩阵将是对角阵. 进而可以写出特征值和特征向量.

$T \in L(V), T(\alpha) = \lambda \alpha$. 那么 $\lambda$ 和 $\alpha$ 是对应的特征值与特征向量.

特征向量线性无关

不同特征值对应的特征向量线性无关.
$T \in L(V)$, 且 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k$ 为 $T$ 的不同特征值.
$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 为对应的特征向量. 则 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性无关.

设 $\alpha1, \alpha_2, \cdots, \alpha_k$ 线性相关, 那么取最小的 $j$ 使得 $\alpha_j \in \text{span} {\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha{j-1}}$. \
可以写成 $\alphaj = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x{j-1}\alpha{j-1}$. \
对等式两边施加线性变换可得:
$\lambda_j\alpha_j = \lambda_1x_1\alpha_1 + \lambda_2x_2\alpha_2 + \cdots + \lambda{j-1}x{j-1}\alpha{j-1}$.

$\left \{ \begin{align*} &\lambda_j\alpha_j = \lambda_jx_1\alpha_1 + \lambda_jx_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_jx_{j-1}\alpha_{j-1} \tag{a}\\ &\lambda_j\alpha_j = \lambda_1x_1\alpha_1 + \lambda_2x_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_{j-1}x_{j-1}\alpha_{j-1} \tag{b} \end{align*} \right .$

$(a) - (b)$ 得,

$x_1(\lambda_1 - \lambda_j) \alpha_1 + x_2(\lambda_2 - \lambda_j) \alpha_2 + \cdots + x_{j-1}(\lambda_{j-1} - \lambda_j) \alpha_{j-1} = 0$

由于 $\lambdai - \lambda_j \neq 0$, $x_i = 0$.
从而 $\alpha_j = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x{j-1}\alpha_{j-1} = 0$.
而 $\alpha_j$ 是特征向量, 不等于 $0$. 因此矛盾.

性质

对于 $T \in L(V)$ 的特征值 $\lambda$, 有这样的几个等价结论.

$\lambda$ 是 $T$ 的特征值
$T - \lambda I$ 非单射
$T - \lambda I$ 非满射
$T - \lambda I$ 非可逆

说明 $1.) \Rightarrow 2.)$, \
$T(\alpha) = \lambda \alpha \Rightarrow (T - \lambda I) \alpha = 0$, 也就是说 $T - \lambda I$ 的零空间中存在非零元素 $\alpha$. 那么 $T - \lambda I$ 必然不是单射.

说明 $2.) \Rightarrow 3.)$ 可以通过维数公式说明:
$\dim \text{null }(T - \lambda I) + \dim \text{range }(T - \lambda I) = \dim V$.
如果 $T - \lambda I$ 非单射, 也就是 $\dim \text{null }(T - \lambda I) > 0$.
那么 $\dim \text{range }(T - \lambda I) < \dim V$, 即 $T - \lambda I$ 非满射.

根据 $T - \lambda I$ 非单射/满射容易得到 $T - \lambda I$ 非可逆.

特征值存在

在复数域上, 特征值一定存在.

对于 $T = L(V), \dim = n, F = C$, 证明特征值的存在性.

考虑 $n+1$ 个向量 ${\alpha, T(\alpha), T^2(\alpha), \cdots, T^n(\alpha)}$. 由于 $\dim V = n$, 则这 $n+1$ 个向量线性相关. 因此存在不全为 $0$ 的 $x_i$, 使得

$\begin{align*} & x_0 \alpha + x_1 T(\alpha) + x_2 T^2(\alpha) + \cdots + x_n T^n(\alpha) = 0 \\ \Rightarrow~ & (x_0 \alpha + x_1 T + x_2 T^2 + \cdots + x_n T^n)(\alpha) = 0 \\ \Rightarrow~ & C(T - \lambda_1 I) (T - \lambda_2 I) \cdots (T - \lambda_m I) (\alpha) = 0 \end{align*}$

那么一定存在 $(T - \lambda_i I) (\alpha) = 0$ 的情况, 因此特征值存在.

线性变换对应的上三角矩阵

对于 $T \in L(V)$, 如何在 $V$ 中取一组基使得 $T$ 对应的变换矩阵形式简单呢.
我们可以证明, 一定可以取一组基使得 $T(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) A$, $A$ 是上三角.

除了说 $A$ 是上三角矩阵之外我们还有如下等价的定义

$A$ 为上三角矩阵
$T(\alpha_i) = \text{Span} (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i)$
$\text{Span} (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_i)$ 是 $T$ 的不变子空间

商变换

$T \in L(V)$, 若 $U$ 为 $V$ 的不变子空间, 可以定义 $T|_U$. 也就是将 $T$ 的作用范围从 $V$ 缩小到 $U$.

商变换 $T/_U \in L(V/U), T/_U(\alpha + U) = T(\alpha) + U$.

证明上三角

要证: $T$ 中一定存在一组基, $T$ 在该基下的矩阵为上三角阵.

数学归纳法

利用数学归纳法证明,

当 $n=1$, 显然对于一维空间的线性变换矩阵是上三角
已知对 $n-1$ 维的空间, 存在一组基使得 $T$ 对应的变换矩阵为上三角. \
已知 $\dim V = n$, 考虑商空间 $\dim U/V, U = \text{Span} (\alpha_1)$. \
由于 $\dim U/V = n-1$, 因此对于 $2 \le i \le n$, $\begin{align*} T/_U(\alpha_i + U) &= \text{Span} (\alpha_2 + U, \alpha_3 + U, \cdots, \alpha_i + U) \\ &= x_2(\alpha_2 + U) + x_3(\alpha_3 + U) + \cdots + x_n(\alpha_i + U) \\ &= (x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 + \cdots + x_n \alpha_i) + U \end{align*}$ 又 $T/_U(\alpha_i + U) = T(\alpha_i) + U$, 可得 $\begin{align*} T(\alpha_i) + U = (x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 + \cdots + x_i \alpha_i) + U \\ \end{align*}$ 根据商空间的性质我们知道 $\begin{align*} & T(\alpha_i) - (x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 + \cdots + x_i \alpha_i) \in U \\ \Rightarrow~ & T(\alpha_i) = x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 + \cdots + x_i \alpha_i \end{align*}$ 因此 $T$ 对应的矩阵可以写成上三角.

矩阵法

因为 $T$ 在不同基下对应的变换矩阵都是相似的. 所以如果能够证明, 任意矩阵都与某个上三角阵相似. 那么结论成立.
即 $\forall A \in C^{n \times n}, A$ 一定相似于一个上三角阵.(Schur 三角化定理)

我记得自己写过 Schur 三角化定理的证明, 先不记录老师的想法. 之后结合司梅的证明思路写一下.

特征子空间

可以用特征值特征向量定义子空间 $E(T, \lambda) = {\alpha: T(\alpha) = \lambda \alpha}$. \
我们之前已经说明过, 不同特征值对应的特征向量是线性无关的. 因此 $E(T, \lambda_1), \cdots, E(T, \lambda_m)$ 的共同元素只有 $0$.

那么如果 $T$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, $E(T, \lambda_1) + E(T, \lambda_2) + \cdots + E(T, \lambda_m) = V$.

但是通常没有这么好的结论, 只能得到 $E(T, \lambda_1) + E(T, \lambda_2) + \cdots + E(T, \lambda_m) \le V$.