零化多项式
对于多项式 f(λ), 如果 f(A)=0, 称 f 为 A 的零化多项式.
- 矩阵 A 的零化多项式必然存在, 至少特征多项式就是 A 的一个零化多项式
- 最小多项式 mA(λ): 零化多项式中次数最低且最高项系数为 1 的
性质
最小多项式唯一\
证明:\
设存在两个最小多项式 mA(λ),nA(λ), 那么显然 mA(λ),nA(λ) 的最高阶数相等. 又由于 mA(λ)−nA(λ) 也是最小多项式, 我们就得到了一个阶数更低的零化多项式. 矛盾.设 f(λ) 为 A 的零化多项式, 则 mA(λ)∣f(λ)
证明:\
假设 mA(λ)∤, 那么我讲 f(\lambda) 表示为那么 r(\lambda) 作为余项阶数肯定低于 m_A(\lambda), 而且也是零化多项式. 从而与 m_A(\lambda) 是最小多项式矛盾.
由于特征多项式必然是零化多项式, 所以最小多项式必能整除特征多项式. m_A(\lambda) \mid f_A(\lambda)
A 的每个特征值都是最小多项式的根
对于特征值 \lambda_i 有 A\alpha = \lambda_i \alpha. 则显然
假设 \lambda_i 不是 m_A(\lambda) 的根, 那么 m_A(\lambda) \neq 0, 矛盾.
若 A \sim B, 则 m_A(\lambda) = m_B(\lambda).
证明的思路是, 利用性质(2) 说明 m_A(\lambda) \mid m_B(\lambda) 和 m_B(\lambda) \mid m_A(\lambda), 从而 m_A(\lambda) = m_B(\lambda).
要说明 m_A(\lambda) \mid m_B(\lambda), 也就是 m_B(A) = 0.
同理可得 m_B(\lambda) \mid m_A(\lambda), 证毕.
分块对角矩阵的零化多项式
设 f(\lambda) 为 A 的零化多项式, 则
显然 $f(Ai) = 0, 那么每个分块也对应有最小多项式 m{Ai}(\lambda) \mid f(\lambda), 并且 m_A(\lambda) 为 m{A_i}(\lambda)$ 的最小公倍式.
举例来说,
那么对于 \lambda=2, Jordan 块的最大阶数为 2, 对于 \lambda=1, 最大阶数为 1.
因此 m_A(\lambda) = (\lambda-2)^2 (\lambda-1).另一个应用是利用分块的最小多项式求 Jordan 标准型.
之前我们提到多三阶矩阵 Jordan 标准型的求法, 而四阶矩阵更加困难.因为四阶矩阵求出特征值 \lambda_i 的几何重数之后仍然无法确定 Jordan 块的形式.
比如 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 1, 且几何重数为 2.
那么 Jordan 块的形式应该是 1+3 还是 2+2 呢.这两种情况下 (\lambda-1) 的最高次不同, 所以可以通过检验 (A-E)^2 = 0 确定是哪一种.
如果成立, 那么最高阶数为 2, Jordan 标准型为 2+2 形式. 否则为 1+3 形式.A_{n\times n} 可对角化 \Leftrightarrow m_A(\lambda) 无重根.
证明
A_{n\times n} 可对角化 \Rightarrow m_A(\lambda) 无重根.
可对角化说明有 n 个特征值, 那么 m_A(\lambda) = (\lambda - \lambda_1) \cdots (\lambda - \lambda_n).A_{n\times n} 可对角化 \Leftarrow m_A(\lambda) 无重根.
记 \lambda_i 的代数重数为 n_i.
\lambda_i 的几何重数为几何重数小于等于代数重数
如果能够说明 (m-1)n \geq \sum_{i=1}^m \text{rank} (A - \lambda_i I), 那么说明几何重数的和等于代数重数的和, A 也就可以对角化.
根据矩阵乘积秩的性质:
又因为 m_A(\lambda) 无重根, 所以
证毕.
应用
利用这个结论, 我们可以轻松判断一些矩阵是可以对角化的.
比如幂等矩阵 A^2 = A.由于 f_A(\lambda) 没有重根, 所以 m_A(\lambda) 也没有重根, 因此 A 可对角化.
类似的, 如果 A^2 = E, 那么 f(\lambda) =\lambda^n - 1. n 个不同的根, 说明 A 可对角化.
圆盘定理
圆盘定理可以用来估计 A_{n\times n} \in C^{n\times n} 的特征值范围.
通常矩阵的特征值都是求不出来的, 因此需要用圆盘定理进行近似估计.
第一圆盘定理
\lambda 为 A 的任意特征值, 那么
也就是说, A 的任意特征值一定会落在某个圆盘内.
举例
那么在复平面上看, \lambda 的范围是以 (1, 0) 为中心 \sqrt{5} 为半径的圆盘.
证明
不妨取 A 的特征值为 \lambda_0, \alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T 为特征向量.
设 \alpha = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T 中模最大的元素是 x_i.
那么
当然, 上述定理是关于 A 的行的, 类似的我们也可以得到关于 A 的列的结论.
第二圆盘定理
已经根据第一圆盘定理将 A 的特征值 \lambda_i 限制在复平面的圆盘中.
第二圆盘定理给出进一步的结论: 如果 k 个圆盘重合, 那么这些圆盘的并集中存在 k 个特征值.
举例来说, 如果两个圆盘有交集, 那么这两个圆盘的并集中肯定存在两个特征值.
特比的, 如果有 n 个相互分离的圆盘, 那么 A 可对角化.
(我感觉第二圆盘定理没有什么不平凡的地方啊, 这不就是直接根据第一圆盘定理推出的吗).
考虑 A_{n\times n} \in R^{n\times n}, 并且圆盘分离. 那么 A 的特征值都为实数.
简略说明如下:
A 的特征方程为实系数方程, 因此 f_A(\lambda) = 0 的根必然是共轭的.
也就是说, 若 f_A(a+bi) = 0, 那么 f_A(a-bi) = 0.
那么在复平面上有沿着 x 轴对称的两个点 (a, b), (a, -b).
又因为第一圆盘定理对实矩阵限定的圆盘, 其圆心也在 x 轴上, 所以圆盘中至少有两个特征值.
与第二圆盘定理说的, 单独的圆盘只有一个特征值矛盾.
例题
给定某 A_{4\times 4},
- (1), 估计特征值范围
(2), 证明 A 可逆.
证明 A 可逆的思路有
- 算行列式 |A - \lambda E| = 0, 发现没有 \lambda = 0 的根.
- 利用行变换证明 A 满秩
- 观察 (1) 中的圆盘, 发现零点不在任何圆盘中
谱半径
谱半径 \rho(A) 定义为 \max {|\lambda_1|, |\lambda_2|, \cdots, |\lambda_n|}.
\mu, \mu’ 分别表示 行(列)元素模的和 的最大值.
我们有结论 \rho \leq \min {\mu, \mu’}